解法2：先证 AD⊥BC，CD＝CE= （方法同解法1）．

设AC＝x，在Rt△ACD中，由∠C=30°，得 ．

∵ ,

∴ ．

解之，得 （负值舍去）．

∴AC的长为4． 

 

 

22. 本小题主要考查二次函数、二元一次方程组等基础知识，考查数形结合的数学思想，考查计算能力和推理能力．满分14分．

解：（1）∵  A( 1，0)、B(4，0)，

∴  AO=1， OB=4，即AB= AO+OB=1+4=5.

∴  OC＝5，即点C的坐标为（0，5）.

（2）解法1：设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为 ，

C

O

A

B

x

y

由于这个函数的图象过点（0，5），可以得到c=5，又由于该图象过

点（-1，0）、（4，0），则：

解这个方程组，得

∴  所求的二次函数解析式为 . 

∵ ，

∴当 时，y有最大值 .

解法2：

设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为 ，

∵  点C（0，5）在图象上，

∴ ，即 ．

∴ 所求的二次函数解析式为 ． 

∵  点A、B的坐标分别为点A 、B ，

∴  线段AB的中点坐标为 ，即抛物线的对称轴为直线 ．

∵  ，

∴  当 时，y有最大值 .

 

 

23．本小题主要考查从文字信息中读取有效信息、数据处理能力，考查分类的数学思想，考查建立不等式（组）模型解决实际问题的能力．满分12分．

解：（1）当两个班分别购买门票时，

甲班购买门票的费用为56×10×0.8＝448（元）；

乙班购买门票的费用为54×10×0.8＝432（元）；

甲、乙两班分别购买门票共需花费880元．

当两个班一起购买门票时，

甲、乙两班共需花费（56＋54）×10×0.7＝770（元）．

答：甲、乙两班购买门票最少共需花费770元．

（2）当多于30人且不足100人时，设有x人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜，根据题意，得，

解这个不等式组，得 .  

答：当多于30人且不足100人时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜.

 

 

 

 

24. 本小题主要考查一次函数、两条直线垂直的性质、三角形相似、等腰三角形、点与坐标等基础知识，考查对数形结合思想的理解，考查分类的数学思想，考查运算和推理能力．满分14分．

O

1

x

y

A

B

解：（1）∵  一次函数y＝kx+k的图象经过点（1，4），

∴  4＝k×1+k，即k＝2.

∴  y＝2x+2.

当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－1.

即A（－1，0），B（0，2）.

如图，直线AB是一次函数y＝2x+2的图象.

O

1

x

y

A

B

P

Q

（2）∵  PQ⊥AB，

∴  ∠QPO=90° ∠BAO.

又∵∠ABO=90° ∠BAO，

∴  ∠ABO=∠QPO.

∴  Rt△ABO∽Rt△QPO.

∴   ，即 .

∴  a＝2b.    

（3）由（2）知a＝2b.

∴  AP＝AO+OP＝1+a＝1+2b，

， .

若AP＝AQ，即AP ²＝AQ ²，则 ，即 ，这与 矛盾，故舍去；

若AQ＝PQ，即AQ ²＝PQ ²，则 ，即 ，

此时， ， ， （平方单位）.

若AP＝PQ，则 ，即 .

此时 ， .

（平方单位）.

∴  △APQ的面积为 平方单位或（ ）平方单位.

 

25. 本小题主要考查三角形、图形的旋转、平行四边形等基础知识，考查空间观念、演绎推理能力．满分12分．

（1）证法1：

在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，

∴  ．

在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，

∴  ．

∴  BM=DM，且点B、C、D、E在以点M为圆心、BM为半径的圆上．

∴  ∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM． 

证法2：

证明BM=DM与证法1相同，下面证明BM⊥DM．

∵  DM=MC，

∴  ∠EMD=2∠ECD．

∵  BM=MC，

∴  ∠EMB=2∠ECB．

∴  ∠EMD＋∠EMB =2（∠ECD＋ECB）．

∵  ∠ECD＋∠ECB=∠ACB=45°，

∴  ∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM．

（2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立．

证明如下：

证法1（利用平行四边形和全等三角形）：

连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H．

∵ DM=MF，EM=MC，

M

D

B

A

C

E

H

F

∴ 四边形CDEF为平行四边形.

∴ DE∥CF ，ED =CF.

∵ ED= AD,

∴ AD=CF.

∵ DE∥CF，

∴ ∠AHE=∠ACF．

∵ , ，

∴ ∠BAD=∠BCF.

又∵AB= BC,

∴ △ABD≌△CBF.

∴ BD=BF，∠ABD=∠CBF.

∵ ∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC，

∴∠DBF=∠ABC =90°.

在Rt△ 中，由 , ，得BM=DM且BM⊥DM．

证法2（利用旋转变换）：

连结BD，将△ABD绕点B逆时针旋转90°，点A旋转到点C，点D旋转到点 ，得到△ ，则 且 ．连结 ．

∵

M

D

B

A

C

E

∴ ．

又∵ ，

∴ 四边形 为平行四边形．

∴ D、M、 三点共线，且 ．

在Rt△ 中，由 , ，得BM=DM且BM⊥DM．

证法3（利用旋转变换）：

连结BD，将△ABD绕点B逆时针旋转90°，点A旋转到点C，点D旋转到点 ，得到△ ，则 且 ．

连结 ，延长ED交AC于点H．

∵ ∠AHD= 90°－∠DAH= 90°－(45°－∠BAD)= 45°＋∠BAD，

，

∵ ，

M

D

B

A

C

E

H

∴ ．

∴ ．

又∵ ，

∴ 四边形 为平行四边形．

∴ D、M、 三点共线，且 ．

在Rt△ 中，由 , ，得BM=DM且BM⊥DM．

.

_

A

_

B

_

£¬