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 　　　三、一元二次方程与二次函数综合

　　　　例3已知：如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点且OC＝OB，抛物线y=(x－2)(x－m)－(p-2)(p-m)（m、p为常数且m+2≥2p＞0）经过A、C两点．

　　　　（1）用m、p分别表示OA、OC的长；

　　　　（2）当m、p满足什么关系时，△AOB的面积最大．　　

　　　　分析：（1）因为A、C点都在x轴上，所以令y=0即可求出p的值．（2）根据三角形的面积公式列出△AOB的面积表达式，再根据二次函数最值得表达式求解即可．

　　　　解：（1）令y=0得：（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）=0，

　　 　　整理得：（x-p）（x-m-2+p）=0，

　　 　　∴x1=p，x2=m+2-p，

　　 　　∵m+2＞2＞0

　　　　∴m+2-p＞p＞0，

　　 　　∴OA=m+2-p，OC=P．

　　　　（2）∵OC=OB，S△AOB = OA?OB，

　　 　　∴S△AOB= OA?OB= P?（m+2-p），

　　 　　=-P2+ （m+2）?P，

　　 　　∴当p==（m+2）时，S△AOB最大．

　　　　　点评：掌握二次函数的图象，最大值，最小值，二次函数中求三角形面积的问题，通常情况下都是涉及其最高点，最低点的问题．