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  例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB²=2FG²．


 
　　分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF²=2FG²，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．
　　证 因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，
　　所以 AF=AB． ①
　　在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所AG=FG，
　　AF²=AG²+FG²=2FG²． ②
　　由①，②得AB²=2FG²．
　　说明 事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．
　例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB²+AC²=2(AM²+BM²)．

 
　　证 过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中，
　　AB²=AM²+BM²+2BM?MD． ①
　　在△ACM中，
　　AC²=AM²+MC²-2MC?MD． ②
　　①+②，并注意到MB=MC，所以
　　AB²+AC²=2(AM²+BM²)． ③
　　如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为m_a，m_b，m_c，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式．
　　推论 △ABC的中线长公式：
　　　
　　
　　　
　　说明 三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式．①′，②′，③′中的m_a，m_b，m_c分别表示a，b，c边上的中线长．



c²=a²+b²．