中考几何考点之三角形真题解析（奥数网整理）
 

　　08年的真题：24．（本题10分）正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．

　　⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。

　　①求证：DF＝EF；

　　②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；

　　⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）

　　题目解析

　　①按照我们的做法流程，求两条线段相等，我们就要想到利用三角形的全等，看图可以发现，EF在△EFP中，而DF则不在三角形中，所以我们就要想到做辅助线，因为PF⊥CD，PF=PF,EF=DF，那么我们就可以知道△EFP≌△DFP，所以我们想到连接DP。有了辅助线和思路，后面的解题过程就比较容易想到，要证明△EFP≌△DFP，我们只需要再找一个角相等或边相等

　　连接PD.∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD，CB=CD，

　　∴△BCP≌△DCP.∴∠PBC=∠PDC，PB=PD.∵PB⊥PE，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°（本题难点）∴∠PED=∠PBC=∠PDC.∴PD=PE.∵PF⊥CD,∴DF=EF.

　　②求PC、PA、CE的一个等量关系，本题我们并不知道任何一条边的长度，所以我们不能求出它们的长度来找关系，那么我们就只能利用直角三角形来求，也就是利用三角函数，而PC、CE已经在RT△CPF中，∠ACD=45o，所以我们要将PA也放到直角三角形中，而且我们肯定还需要利用到①问的结论，那么辅助线就很容易想到是做过点P作PH⊥AD于点H，有了思路和辅助线，下面就比较容易了

　　24题总结

　　这一题有一定的难度，关键在于找到思路（多是证全等或相似），找出辅助线的做法（多为平行线），然后就比较容易求解了，本题按照我给大家的流程来做同学们应该是都可以做出来的。