三角形

　　(一)三角形的重心

　　已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F.求证：F为AB中点。

　　证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

　　重心的几条性质：

　　1.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

　　2.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

　　3.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3

　　4重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

　　5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

　　如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。

　　(二)相似三角形

　　1相似三角形对应角相等、对应边成比例。

　　2相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比)。

　　3相似三角形对应面积的比等于相似比的平方。

　　(三)三角形全等

　　全等的条件

　　1.两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”。

　　2.两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA”。

　　3.两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”。

　　4.两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS”。

　　5.两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“直角边、斜边”或“HL”。

　　注意，证明三角形全等没有“SSA”或“边边角”的方法，即两边与其中一边的对角相等无法证明这两个三角形全等，但从意义上来说，直角三角形的“HL”证明等同“SSA”。

　　(四)内角和

　　在欧几里得的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角形的内角和为180度;三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和;三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。

　　证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明，详细参见《培优：走进三角形》

　　如何证明三角形的内角和等于180°

　　方法1：将三角形的三个角撕下来拼在一起，可求出内角和为180°。

　　方法2：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为180°。