2012－2013学年度南京联合体初三第二次模拟测试

数学试题参考答案及评分标准

说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

7．a³b⁶           8．x≠0         9．60          10．3            11．③

12．6           13．          14．           15．108       16．

三、解答题（本大题共12小题，共88分）

17．原式=1+(–6)´–(–2) …………………………………………………………………3分

        =1–3+2        …………………………………………………………………5分

        =0            …………………………………………………………………6分

18．原式=( ＋)·……………………………………………………………2分

=·   …………………………………………………………………4分

=x+1 …………………………………………………………………………………6分

19．解：解不等式①，得　x≤3．……………………………… ……………………2分

    解不等式②，得　x>1． ……………………… ……………………………4分

在数轴上表示不等式①、②的解集：

……………………… …………………………5分

由图可知，不等式组的解集是1<x≤3……………………………………………6分

20．（1）解：这个游戏不公平．…………………………………………………………1分

根据题意列表如下：

……………………………………………………………………………………4分

共有9种等可能结果，其中5种两数之和为奇数，…………………………5分

因此P_{(小明获胜)}＝，P_{(小丽获胜)}＝． ………………………………………………6分

∴游戏不公平．

（本题的其它方法参考赋分）

21．（1）如图    ……………………………………………………3分

（2）证明：∵∠ABD=×60°=30°，∠A=30°

∴∠ABD=∠A

∴AD=BD     ……………………………………………4分

在△ADE和△BDE中

∴△ADE≌△BDE（SSS）．………………………………6分

注：直接使用线段垂直平分线的性质得出AD=BD完成证明的扣1分．

22．解：设AG=x米

在Rt△AFG中，∠AFG=∠FAG=45°∴AG=GF=x…………………2分

在Rt△ADG

中，tan∠ADG=tan30°===……………4分

∴x≈12.9，即AG≈12.9（米）      ……………………………….5分

∴AB=AG+GB=12.9+1.5≈14（米）

答：这棵树AB的高度为14米．   ………………………………6分

23．解：（1）甲班学生的

平均成绩为6´25%+7´20%+8´35%+9´20%=7.5（分）

甲班的中位数为8分  ………………………………………………………2分

由于平均数7.5＜7.7，所以从平均数来看，乙班的成绩较好；

由于中位数8＞7，所以从中位数来看，甲班的成绩较好．………………………………4分

（2）应选乙班．

因为选6人参加市级团体赛，其中乙班有6人的成绩为9分，

而甲班只有4人的成绩为9分，所以应选乙班．        ………………………………7分

注：由甲班的方差大于乙班得出应选乙班，得2分；由平均数、中位数、众数或得8分以上人数得出相应结论，得1分；其它答案，得0分；只

选择班级，未说明理由，得0分．

24．（1）

证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形  

∴AB=AC=BC，ED=DC=EC  ………………………………1分

  ∵点E、F分别为AC、BC的中点

∴EF=AB，EC=AC，FC=BC ……………………………2分

∴EF=EC=FC

      ∴EF=FC=ED=DC …………………………………………3分

∴四边形EFCD是菱形      ………………………………4分

（2）解：连接DF，与EC相交于点G，

∵四边形EFCD是菱形

∴DF⊥EC，垂足为G   …………………………………5分

∵EF =AB=4，EF//AB

∴∠FEG=∠A=60°……………………………………………6分

在Rt△EFG中，∠EGF=90°

∴DF=2FG=24sin∠FEC=8sin60°= 4…………………7分

（本题的其它方法参考赋分）

25．解：（1）设y₂＝k x＋b (k≠0)

因为乙车以120千米/小时的速度从A地匀速驶往B地．

∵当x=9时，y=160，∴当x=10时，y=160+120=280

∴∴

∴y₂＝120x–920．………………………………………………4分

∵甲车回到A地的同时乙车到达了B地，所以当x=11时，y₂=400，

故点D（11，400）在函数图象上，函数图象见图．　   ……… …………6分

（2）由题意知，甲车的速度为160÷(11-9)=80km/h，

往返共用400´2÷80=10h，所以m=11–10=1h．………………………………8分

（其它方法参考赋分）

26．（1）12元，648元…………………… ……………………………………2分

（2）解：设生产第x个档次的产品可使一天获利润810元…………………3分

[8+2(x-1)]·[60–3(x–1)]=810………………………………………………6分

解得 x₁=6，x₂=12     …………………………………………………7分

因为该产品按质量分为10个档次，

所以x=12不合题意，舍去 ……………………………………………8分

答：如果要使一天获利润810元，则应生产第6档次的产品…………………9分

27． (1)由□ABCD知AB∥CD，

∵∠EFB＝90°，∴∠EHC＝90°，∴EH⊥CH．………………1分

法一：

∵点E是BC的中点，∴EB

＝EC．………………2分

由△BEF≌△CEH，知EH＝EF，………………3分

∴EH是⊙E的半径．………………4分

∵直线CD过⊙E半径EH的外端点H，………………5

分

∴直线CD与⊙E相切．………………6分

    法二：

∴EH是点E到直线CD的距离．………………2

∵点E是BC的中点，∴EB＝EC．………………3

由△BEF≌△CEH，知EH＝EF． ………………4

分

∴EH是⊙E的半径．………………5分

∴直线CD与⊙E相切．………………6分

(2)求得梯形的高为3．………………7分

设CH＝x，则CE＝2x，BE＝6－2x，BF＝3－x，………………9分

S_梯形BHCF＝×(CH＋BF)×3＝×(x＋3－x)×3＝．…………10分

28．（1）二次函数y=x²–2x–3图象的顶点坐标为（1，–4），

二次函数y= –x²+4x–7图象的顶点坐标为（2，–3）， ……… ………………2分

①当x=1时，y= –x²+4x–7= –4，

∴点(1，–4）二次函数y= –x²+4x–7图象上，

②当x= 2时，y=x²–2x–3= –3，

∴点（2，–3）在二次函数y=x²–2x–3图象上，     ……… ………………4分

所以，二次函数y=x²–2x–3图象与二次函数y= –x²+4x–7图象相伴随．

（2）∵旋转前后的两个函数图象相伴随，

∴y₂的图象的顶点N必在二次函数y₁=(x+1)²–2图象上，

∵y₂的图象是二次函数y₁=(x+1)²–2图象绕点P旋转180°得到，

∴这两个函数图象的顶点M、N关于点P对称，

∴如图，y₂图象的顶点可能位于y₁=(x+1)²–2图象对称轴的右侧（点N）或左侧（点N’），

分别过M、N作MA⊥x轴，NB⊥x轴，垂足分别为A、B，

∵∠MAP=∠NBP=90°，∠APM=∠BPN，MP=NP，

∴△APM≌△BPN，∴NB=AM=2，

同理可求，N’B’=AM=2，         

当y=2时，(x+1)²–2=2，解得 x₁=3，x₂= –5，

∴N（3，2），N’（–5，2），        ……… …………… ………………6分

当N是y₂图象顶点时，

设y₂=a(x–3)²+2（a≠0），把M（–1，–2）代入关系式，得a= –，

∴y₂= –(x–3)²+2，

当N’是y

₂图象顶点时，同理可求，y₂= –(x+5)²+2，

综上所述，y₂= –(x–3)²+2或y₂= –(x+5)²+2，     ……… ………………8分

（3）设点Q的坐标为（0，m），则MN²=32，MQ²= m²+4m+5，

①当点N取（3，2）时，NQ²=m²–4m+13，令MQ²=NQ²，则m²+4m+5=m²–4m+13，m= 1，

∴MQ²+NQ²=20≠MN²，

∴当N（3，2）时，不存在符合条件的Q点，使得△MNQ是等腰直角三角形；

②当点N取（–5，2）时，NQ²=m²–4m+29，令MQ²=NQ²，则m²+4m+5=m²–4m+29，m= 3，

∴MQ²+NQ²=52≠MN²，

∴当N（–5，2）时，不存在符合条件的Q点，使得△MNQ是等腰直角三角形；

综上所述，不存在符合条件的Q点，使得△MNQ是等腰直角三角形．… ………………11分