函数及其图像

　　一、平面直角坐标系

　　在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

　　坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

　　注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

　　二、不同位置的点的坐标的特征

　　1、各象限内点的坐标的特征

　　第一象限(+,+)第二象限(-,+)第三象限(-,-)第四象限(+,-)

　　2、坐标轴上的点的特征

　　在x轴上纵坐标为0,在y轴上横坐标为,原点坐标为（0，0）

　　3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

　　点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等

　　点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数

　　4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

　　位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

　　位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

　　5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

　　点P与点p'关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数

　　点P与点p'关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数

　　点P与点p'关于原点对称横、纵坐标均互为相反数

　　6、点到坐标轴及原点的距离

　　点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

　　（1）到x轴的距离等于（2）到y轴的距离等于（3）到原点的距离等于

　　三、函数及其相关概念

　　1、变量与常量

　　在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

　　一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

　　2、函数的三种表示法（1）解析法（2）列表法（3）图像法

　　3、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表（2）描点（3）连线

　　4、自变量取值范围

　　四、正比例函数和一次函数

　　1、正比例函数和一次函数的概念

　　一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。

　　特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。

　　2、一次函数的图像：是一条直线

　　3、正比例函数的性质，，一般地，正比例函数有下列性质：

　　（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

　　（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

　　4、一次函数的性质，，一般地，一次函数有下列性质：

　　（1）当k>0时，y随x的增大而增大

　　（2）当k<0时，y随x的增大而减小

　　5、正比例函数和一次函数解析式的确定

　　确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

　　6、设两条直线分别为，：：

　　若且。若

　　7、平移：上加下减，左加右减。

　　8、较点坐标求法：联立方程组

　　五、反比例函数

　　1、反比例函数的概念

　　一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成或xy=k的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

　　2、反比例函数的图像是双曲线。

　　3、反比例函数的性质

　　(1)当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。

　　(2)当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x的增大而增大。

　　(3)图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

　　(4)图像既是轴对称图形又是中心对称图形

　　（5）图像上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴所围成矩形面积等于|k|

　　4、反比例函数解析式的确定

　　只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

　　六、二次函数

　　1、二次函数的概念：一般地，如果，那么y叫做x的二次函数。

　　2、二次函数的图像是一条抛物线。

　　3、二次函数的性质：

　　（1）a>0抛物线开口向上，对称轴是x=，顶点坐标是（，）；在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大；抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，

　　（2）a<0抛物线开口向下，对称轴是x=，顶点坐标是（，）；在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，；

　　抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，

　　4、.二次函数的解析式有三种形式：

　　（1）一般式：

　　（2）顶点式：

　　（3）两根式：

　　5、抛物线中，的作用：

　　表示开口方向：>0时，抛物线开口向上，，，<0时，抛物线开口向下

　　与对称轴有关：对称轴为x=，a与b左同右异

　　表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）

　　6、二次函数与一元二次方程的关系

　　一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

　　因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

　　当>0时，图像与x轴有两个交点；

　　当=0时，图像与x轴有一个交点；

　　当<0时，图像与x轴没有交点。

　　7、求抛物线的顶点、对称轴的方法

　　（1）公式法：顶点是，对称轴是直线.

　　（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.

　　8、平移：可以由平移得到。上加下减，左加右减。