平均数

1、①定义：一般的，如果有n个数x1 x2 x3 … xn， 则：

= (x1+x2+…+xn)÷n

②当一组数据x1 x2 x3 … xn 各个数值较大时，可将数据同时减去一个适当的常数a ，得到：x1/=x1-a 、x1/=x2-a … xn= xn/-a 则 x拔 = x拔 / + a

常数a通常取接近于这组数据的平均数(约略估计)的整数

③加权平均数：如果在n个数中，x1出现f1次，x2出现fk次，…… xk出现fn次(f1+f2+…+fk=n )则

=(x1 f1 + x2 f2 + x3 f3 +… +xk fk )÷n

2、几个概念：

①总体：考察对象的全体

②个体：每一个考察对象

③样本：从整体中抽取的一部分个体叫总体的一个样本

④样本容量：样本中个体得数目

⑤总体平均数：总体中所有个体的平均数

⑥样本平均数：样本中所有个体的平均数

例1：初三全年级4个班数学测验平均成绩分别是 x拔1 x拔2 x拔3 x拔4 则全年级平均成绩是( x拔1 + x拔2 + x拔3 + x拔4 )÷4 这种算法不一定正确

⑴当各班人数相同时算式成立

⑵当各班人数不同时算式不成立

3、概念：

⑴众数：一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

理解：注意出现次数最多的数据和出现次数最多次数两种说法的不同

⑵中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫这组数据的中位数

⑶对众数、平均数、中位数的理解：

①众数说明了该数据出现的次数最多;中位数说明了该组数据以中位数为点将数据划分为数据各占一半的两部分。平均数反应了改组数据的平均值。

4、中位数的找法：

给我们一组数组，将该数组由小到大排列，设数组的个数为n，

1、当n为奇数时，n÷2得一小数，用进一法取整数f，则，第f个数就是该数组的中位数。

2，当n为偶数时，n÷2得一整数m，第m和m+1个数的平均数就是该数组的中位数。

3、众数、中位数、平均数从不同角度描述了一组数据的平均趋势，其中，又以平均数应用最为广泛

例1、判断题：

⑴只要一组数据中有一个数字变动，那么平均数就一定会跟着变动(答案：对)

⑵平均数一定有现实意义(答案：错)

⑶在一组数据中加入它的平均数，则新数据组中平均数不变(答案：对)

5、方差：

⑴引入方差的目的：对于一组数据，除需要了解它们的一般水平外，还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小)

⑵概念：设在一组数据x1、x2、…、xn中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1- x拔)2 、(x2- x拔)2、…、(xn- x拔)2。那么，我们用它们的平均数来衡量这组数据的波动的大小，并把它叫做这组数据的方差

即：S2=[(x1-x拔 )2 + (x2-x拔 )2 + … + (xn- x拔)2]/n

⑶意义：一组数据的方差越大，这组数据的波动越大

⑷计算方差的两个变形公式

⑴ S2=[(x12 + x22 + … + xn2 ) - n x拔2]/n

⑵若x1/=x1-a 、x1/=x2-a … xn/ = xn -a ( 其中, x1、x2、…、xn是原已知的n个数,a是接近这组数据的平均数的一个常数)则

S2=[(x1/2 + x2/2 + … + xn/2 ) - n x拔/2]/n

6、标准差:

⑴概念:方差的算术平方根叫这组数据的标准差

⑵意义: 标准差也是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量,标准差越大,数据的波动越大,反之亦然。

7、方差、标准差综合概括：

一般地，若一组数据x1、x2、…、xn 的平均数为x拔 ，方差为S2，标准差为S ，则：

⑴数组：x1 +a x2+a … xn +a的平均数为 x拔+a ，方差和标准差不变

⑵数组：kx1 kx2 … kxn 的平均数为 kx拔 ，方差变为k2S2，标准差为kS

⑶数组：k x1 +a kx2+ a …kxn+a的平均数为kx拔 +a，方差为k2S2，标准差为Ks

例1：对一组数：-2、-1、x、1、2，若x为不大于10的非负数，方差为整数，计算标准差

答案：根据S2=[(x12+x22 + …+xn2 )-n 2]/n 、 =x/5 、x=0或x=5 ∴S2=(10+4x2/5)/5 …

8、频率分布

⑴组距：指每个小组的两个端点之间的距离

分组数=(最大值-最小值)/组距

⑵频数：把数据总数分成若干小组，落在各个小组内的数据的个数叫频数

⑶频率：每一小组的频数与数据总数的比值叫这一小组的频率

9、画频率分布直方图

⑴横半轴：各组组距

纵半轴：频率与组距的比。即 频率/组距

⑵小长方形的高=频率/组距=频数/(数据总数×组距)

∵(1/数据总数×组距)为常数

∴小长方形的高与频数成正比

⑶在频率分布直方图中,由于各小长方形的面积等于响应各组的频率、而各组频率的和等于1,因此, 各小长方形面积的和等于1

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