一、代数式与有理式

1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。

2、整式和分式统称为有理式。

3、含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

二、整式和分式

1、没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

2、有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

三、单项式与多项式

1、没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积---包括单独的一个数或字母)

2、几个单项式的和，叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。

单项式

1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。4、单独一个数或一个字母也是单项式。5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。7、单独的一个非零常数的次数是0。8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

多项式

1、几个单项式的和叫做多项式。2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。3、多项式中不含字母的项叫做常数项。4、一个多项式有几项，就叫做几项式。5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

整式

1、单项式和多项式统称为整式。2、单项式或多项式都是整式。3、整式不一定是单项式。4、整式不一定是多项式。5、分母中含有字母的代数式不是整式;而是今后将要学习的分式。

整式的应用经典题型精选

某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元.领带每条定价40元。厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①西装和领带都按定价的90%付款;②买一套西装送一条领带°现某客户要到该服装厂购买x套西装(x≥1)，领带条数是西装套数的4倍多5。(1)若该客户按方案①购买，需付款________元;(用含x的代数式表示)若该客户按方案②购买，需付款________元。(用含x的代数式表示)(2)若x=10，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算?

解：(1)(324x+180)元，(320x+200)元;(2)当x=10时，324x+180=3420(元)，320x+200=3400(元)而3400<3420，所以方案②合算。

例题2、

暑假期间，学校组织学生去某景点游玩，甲旅行社说：“如果带队的一名老师购买全票，则学生享受半价优惠”;乙旅行社说：“所有人按全票价的六折优惠”.已知全票价为a元，学生有x人，带队老师有1人.(1)试用含a和x的式子表示甲、乙旅行社的收费;(2)若有30名学生参加本次活动，请你为他们选择一家更优惠的旅行社.

例题3

、全世界每年都有大量的土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已成为一项十分紧迫的任务.某地区沙漠原有面积是100万平方千米，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续3年的观察，并将每年年底的观察结果记录如下表：

预计该地区沙漠的面积将继续按此趋势扩大.

(1)如果不采取措施，那么到第m年年底，该地区沙漠面积将变为多少万平方千米?

(2)如果第5年后采取措施，每年改造0.8万平方千米沙漠(沙漠面积的扩大趋势不变)，那么到第n年(n>5)年年底该地区沙漠的面积为多少万平方千米?(3)在(2)的条件下，第90年年底，该地区沙漠面积占原有沙漠面积的多少?

解：(1)第m年年底的沙漠面积为100.2+0.2(m-1)=(0.2m+100)万平方千米.(2)第n年年底的沙漠面积为0.2n+100-0.8·(n-5)=(104-0.6n)万平方千米.(3)在(2)的条件下，当n=90时，104-0.6n=50，50÷100=0.5.即第90年年底，该地区沙漠面积占原有沙漠面积的0.5.

例题4、

小明、小强从同一地点A同时反向(小明按逆时针方向，小强按顺时针方向)绕环形跑道跑步，小明的速度为4a 米/秒，小强的速度为5a 米/秒(a>0)，经过t秒两人第一次相遇.⑴ 这条环形跑道的周长为多少米?⑵ 两人第一次相遇后，小明、小强继续按原方向绕跑道跑步. ① 小明又经过几秒再次到达A点?② 在①中当小明到达A点时，小强是否已经过A点?如果已经过，则小强经过A点后又走了多少米?如果没有经过，请说明理由.

例题5

、A，B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司年薪20万元，每年加工龄工资4 000元;B公司半年薪10万元，每半年加工龄工资2 000元，问：A，B两家公司第n年的年薪分别是多少?从经济角度考虑，选择哪家公司有利?

解：A公司第n年的年薪为：200 000+4 000(n-1)=(196 000+4 000n)元，B公司第n年的年薪为：100 000×2+2(n-1)×2 000+2 000=(198 000+4 000n)元，因为198 000+4 000n>196 000+4 000n，所以从经济角度考虑，选B公司有利.

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