【典型例题】例1.若关于x的方程(a+1)(a-1)x2-(13a-5)x+36=0的解都是整数，求所有符合条件的整数a的值。

【分析】当方程为一元二次方程时，用因式分解法易得根的表达式，然后利用整除性分析求出符合条件的整数a.

【点评】因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论。

例2.设a,b均为整数，求证：关于x的方程x2+10ax+5b+3=0,x2+10ax+5b-3=0均无整数根。

【分析】可直接从判别式入手，分析其个位数字的特征，得到判别式不可能是平方数，从而证明方程均无整数根。

【点评】一元二次方程有有理根的条件：Δ=b2-4ac为平方数.而完全平方数的末尾数字只能是0, 1,4, 5, 6, 9.

例3.当整数k为何值时，关于x的一元二次方程x2+(k-1)x+k-1=0有两个有理根.

【分析】一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是平方数。

【点评】一元二次方程有理根问题通常可转化为二元二次不定方程的整数根问题进行求解。

例4.已知关于x的方程mx2+(m+1)x+m-1=0的根是整数，求实数m的值.

【分析】可根据韦达定理得到两根之和与积，通过消去参数m转化为关于x1,x2的不定方程整数根问题进行求解。

【点评】通过韦达定理得到关于两根的不定方程是解决方程整数根问题的常用方法。

例5.已知关于x的方程x2+px+q4=0有两个不相等的整数根，p,q都是素数，求这个方程的根。

【分析】根据韦达定理，结合p,q都是素数逐步确定p,q的值。

【点评】当方程的根是整数，参数是素数时，一般可以借助韦达定理求解。

例6.试求出所有这样的正整数a,使得关于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根。

【分析】利用判别式为完全平方数更换参数，再结合整除性分析求解。

【点评】本题也可把a当作未知数，x看作系数进行更换主元，这种“反客为主”的方法，具有化难为易，化繁为简之功效。

例7.已知关于x的方程x2+bx+c=0及x2+cx+b=0分别各有两个整数根x1,x2和x'1,x'2且x1x2> 0,x'1x'2> 0.(1)求证：x1<0,x2<0,x'1<0,x'2<0;(2)求证：b-1≤c≤b+1;(3)求b,c所有可能的值.

【分析】(1)利用韦达定理进行判断;(2)利用根与系数的关系和整数根分别证明b-1≤c和c≤b+1;(3)根据(2)中b-1≤c≤b+1,分c=b+1,c=b,c=b-1三种情况进行求解.

【点评】再次体现了韦达定理在解决方程整数根问题中的重要性。

例8.已知函数y=x2+bx-c的图象经过两点P(1,a),Q(2, 10a),且与x轴的交点A,B的横坐标都是整数，与y轴的交点为C. 求ΔABC的面积。

【分析】如果还没有学习二次函数，但这里只用到函数图象的基本概念，即P,Q坐标满足函数，A,B两点横坐标就是方程x2+bx-c=0的两个根，依题意这是两个整数根.

【点评】韦达定理解决一元二次方程整数根时，常常需要将两根和与两根积相加或相减，使组成的多项式可以分组分解，这样有利于求整数根。

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