2024年初中数学三角形的考点:等腰三角形
等腰三角形
1、等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的性质定理及推论:
等边对等角
定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:)
推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。
(2)等腰三角形的其他性质:
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。
③等腰三角形的三边关系:设腰长为a,底边长为b,则b/2
④等腰三角形的三角关系:设顶角为顶角为∠A,底角为∠B、∠C,则∠A=180°—2∠B,∠B=∠C=(180°-∠A)/2
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论:
等角对等边
定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:)。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质与判定
中线
性质
1、等腰三角形底边上的中线垂直底边,平分顶角;
2、等腰三角形两腰上的中线相等,并且它们的交点与底边两端点距离相等。
判定
1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形;
2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平分这个边的对角),那么这个三角形是等腰三角形
角平分线
性质
1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边;
2、等腰三角形两底角平分线相等,并且它们的交点到底边两端点的距离相等。
判定
1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边),那么这个三角形是等腰三角形;
2、三角形中两个角的平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形。
高线
性质
1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边;
2、等腰三角形两腰上的高相等,并且它们的交点和底边两端点距离相等。
判定
1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角),那么这个三角形是等腰三角形;
2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。
角
性质
等边对等角
判定
等角对等边
边
性质
底的一半<腰长<周长的一半
判定
两边相等的三角形是等腰三角形
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4、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。
(2)要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用:
位置关系:可以证明两条直线平行。
数量关系:可以证明线段的倍分关系。
常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:
结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。
结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
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