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2024年初中数学中考复习:反比例函数及其综合运用

2023-08-06 21:21:55佚名

一、反比例函数的定义

一般地,形如k/x(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

二、确定反比例函数的关系式

由于反比例函数中,只有一个待定系数k,因此只需要知道一.对x、 y的对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是:

(1)设所求的反比例函数为: y=k/x(k≠0);

(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式,得到关于待定系数k的方程:

(3) 解方程求出待定系数k的值:

(4)把求得的k值代回所设的函数关系式中.

三、反比例函数的图像和性质

1、反比例函数的图像特征:

反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限;

反比例函数的图像关于原点对称,永远不会与x 轴、y轴相交,只是无限靠近两坐标轴.

反比例函数的图象和性质

1.会用描点的方法画反比例函数的图象;(重点)

2.理解反比例函数图象的性质.(重点,难点)

合作探究

探究点一:反比例函数的图象

【类型一】反比例函数图象的画法

作函数y=的图象.

解析:根据函数图象的画法,进行列表、描点、连线即可.

解:列表:

x

4

2

1

1

2

4

y

1

2

4

4

2

1

描点、连线:

方法总结:作图的一般步骤为:①列表;②描点;③连线;④注明函数解析式.

【类型二】反比例函数与一次函数图象位置的确定

在同一坐标系中(水平方向是x轴),函数y=和y=kx+3的图象大致是(  )

解析:A.由函数y=的图象可知k>0与y=kx+3的图象中k>0且过点(0,3)一致,故A选项正确;B.由函数y=的图象可知k>0与y=kx+3的图象中k>0且过点(0,3)矛盾,故B选项错误;C.由函数y=的图象可知k<0与y=kx+3的图象中k<0且过点(0,3)矛盾,故C选项错误;D.由函数y=的图象可知k>0与y=kx+3的图象中k<0且过点(0,3)矛盾,故D选项错误.故选A.

方法总结:解答此类问题时,通常先根据双曲线图象所在的象限确定k的符号,再确定一次函数的系数及经过的点是否也符合图案,如果符合,可能正确;如果不符合,一定错误.

【类型三】实际问题中函数图象的确定

若按xL/min的速度向容积为20L的水池中注水,注满水池需ymin.则所需时间ymin与注水速度xL/min之间的函数关系用图象大致可表示为(  )

解析:∵水池的容积为20L,∴xy=20,∴y=(x>0),故选B.

方法总结:解答此类问题要先根据题意列出反比例函数关系式,然后依据实际情况确定函数自变量的取值范围,从而确定函数图象.

【类型四】反比例函数图象的对称性

若正比例函数y=-2x与反比例函数y=图象的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点坐标为(  )

A.(2,-1) B.(1,-2)

C.(-2,-1) D.(-2,1)

解析:∵正比例函数y=-2x与反比例函数y=的图象均关于原点对称,∴两函数的交点也关于原点对称.∵一个交点的坐标是(-1,2),∴另一个交点的坐标是(1,-2).故选B.

方法总结:反比例函数y=(k≠0)的图象既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴是一、三(或二、四)象限角平分线所在的直线,对称中心是坐标原点.

探究点二:反比例函数的性质

【类型一】根据解析式判定反比例函数的性质

已知反比例函数y=-,下列结论不正确的是(  )

A.图象必经过点(-1,2)

B.y随x的增大而增大

C.图象分布在第二、四象限

D.若x>1,则-2

解析:A.(-1,2)满足函数解析式,则图象必经过点(-1,2),命题正确;B.在第二、四象限内y随x的增大而增大,忽略了x的取值范围,命题错误;C.命题正确;D.根据y=-的图象可知,在第四象限内命题正确.故选B.

方法总结:解答此类问题要熟记反比例函数图象的性质.

【类型二】根据反比例函数的性质判定系数的取值范围

在反比例函数y=的每一条曲线上,y都随x的增大而减小,则k的值可以是(  )

A.-1B.3 C.1 D.2

解析:∵反比例函数y=的图象在每一条曲线上,y都随x的增大而减小,∴1-k>0,解得k<1.故选A.

方法总结:对于函数y=,当k>0时,其图象在第一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小;当k<0时,在第二、四象限,在每个象限内y随x的增大而增大,熟记这些性质在解题时能事半功倍.

三、板书设计

1.反比例函数的图象:双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形.

2.反比例函数的性质:

(1)当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内y值随x值的增大而减小;

(2)当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内y值随x值的增大而增大.

3、反比例函数的性质

(1)如图1,当k>0时,双曲线的两个分支分别位于第一、 三象限,在每个象限内,y值随x值的增大而减小:

(2) 如图2,当k<0时,双曲线的两个分支分别位于第二、四象限,在每个象限内,y值随x值的增大而增大:

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