01

提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.

例1、

分解因式x -2x -x

x -2x -x=x(x -2x-1)

02

应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.

例2、

分解因式a +4ab+4b

a +4ab+4b =(a+2b)

03

分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)

例3、

分解因式m +5n-mn-5m

m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

04

十字相乘法

对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

例4、

分解因式7x -19x-6

分析：1 -3

7 2

2-21=-19

7x -19x-6=(7x+2)(x-3)

05

配方法

对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.

例5、

分解因式x +3x-40

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

=(x+ ) -( )

=(x+ + )(x+ - )

=(x+8)(x-5)

06

拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.

例6、

分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

07

换元法

有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.

例7、

分解因式2x -x -6x -x+2

2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

=x [2(x + )-(x+ )-6

令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6

= x [2(y -2)-y-6]

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1) (2x-1)(x-2)

08

求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例8、

分解因式2x +7x -2x -13x+6

令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1

则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

09

图象法

令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例9、

因式分解x +2x -5x-6

令y= x +2x -5x-6

作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2

则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10

主元法

先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.

例10、

分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列

a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11

利用特殊值法

将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.

例11

分解因式x +9x +23x+15

令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值

则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

12

待定系数法

首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.

例12、

分解因式x -x -5x -6x-4

分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.

设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

所以 解得

则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

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