一、实际问题与二元一次方程组的思路

1.基本思路

列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量。②同类量的单位要统一。③方程两边的数要相等。

2.解应用题一般步骤

①设：用两个字母表示问题中的两个未知数。②列：列出方程组，要分析题意找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组。③解：解方程组，求出未知数的值。④答：写出答案。

3.要点诠释

①“设”“答”两步，都要写清单位名称;②一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。

二、八大典型例题详解

1.和差倍数问题

和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。

【典型例题】

甲、乙两人分别以不变的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字。问甲、乙两人每分钟各打多少个字?

【思路点拨】

由甲、乙两人2分钟共打了240个字，可以得到第一个和的等量关系式，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个差的等量关系式，组成方程组求解即可。

【参考答案】

解：设甲每分钟打x个字，乙每分钟打y个字。根据题意得2(x+y)=240，x-y=10解得x=65，y=55答：甲每分钟打65个字，乙每分钟打55个字。

2.产品配套问题

总人数等于生产各个产品的人数之和，各个产品数量之间的比例符合整体要求。

【典型例题】

某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均可以生产螺钉1200个，或生产螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品正好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母?

【思路点拨】

本题的第一个等量关系比较容易得出，即生产螺钉和螺母的工人共有22名，第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反)。

【参考答案】

解：设分配x名工人生产螺钉，y名工人生产螺母。根据题意得x+y=22，2×1200x=2000y解得x=10，y=12答：应该分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。

3.工作量问题

①我们在解决工程问题时通常把工作总量看成1。②工作量=工作效率×工作时间。③总工作量=每个个体工作量之和。④工作效率=工作量÷工作时间(即单位时间的工作量)。⑤工作效率=1÷完成工作的总时间。

【典型例题】

现要整理一批文件，由1个人完成需要40个小时，计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起再做8小时，完成这项任务，假设这些人的工作效率都相同，则应先安排多少人工作?

【思路点拨】

首先将工作总量设成1，可以得到每人的工作效率，再根据x人先做4小时可以完成的工作量，和增加2人后，(x+2)人工作8小时完成的工作量之和，等于总量1，可以列出方程，解方程求解即可。

【参考答案】

解：设总工作量为1，应先安排x人工作，则每个人的工作效率为0.025。

根据题意得4x×0.025+8(x+2)×0.025=1

解得x=2

答：应先安排2人工作。

4.利润问题

①商品利润=商品售价-商品进价。②利润率=利润÷进价×100%。

【典型例题】

商店新进一批商品准备出售，若打8折出售，则10天可以售完，并能获利10000元;若打7.5折出售8天可以售完，可获利8000元，商品存放一天需要100元的存货费，求这批商品的本钱(购货价)和预售总价各是多少?

【思路点拨】

本题有两个未知数，即商品本钱和预售总价，也有两个明显的等量关系，即两种打折出售的获利情况，根据售价-成本-存货费用=利润，可以列出方程组求解即可。

【参考答案】

解：设这批商品的本钱是x元，预售总价是y元。

根据题意得0.8y-x-10×100=10000，0.75y-x-8×100=8000

解得x=24200，y=4400

答：这批商品的本钱是24200元，预售总价是44000元。

5.行程问题

①路程=速度×时间。②相遇问题：快行距+慢行距=原距追及问题。③快行距-慢行距=原距航行问题。④顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度。⑤逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度。

【典型例题】

A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出。如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇;如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度。

【思路点拨】

这个问题可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解，要明确快车与慢车的路程与A、B两地的距离之间的关系，相向而行两车相遇时，快车路程+慢车路程=A、B两地距离;同向而行两车相遇时，快车路程-慢车路程=A、B两地距离。

【参考答案】

解：设快车的速度为x千米每小时，慢车的速度为y千米每小时。

根据题意得3(x+y)=480，12(x-y)=480

解得x=100，y=60

答：快车的速度为100千米每小时，慢车的速度为60千米每小时。

6.存贷款问题

①利息=本金×利率×期数。②本息和(本利和)=本金+利息。

【典型例题】

蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲、乙两种贷款，共13万元，王先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲、乙两种贷款分别是多少万元?

【思路点拨】

本题第一个等量关系式很好找就是甲、乙两种贷款的和为13万元，第二个等量关系式则需要用到公式利息=本金×利率×期数。

【参考答案】

解：设甲种贷款x万元，乙种贷款y万元。由题意可得x+y=13，0.06x+0.035y=0.6075解得x=6.1，y=6.9答:甲种贷款是6.1万元，乙种贷款是6.9万元。

7.数字问题

已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a。

【典型例题】

有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数。

【思路点拨】

本题中的等量关系：个位上的数-十位上的数=5;原数+新数=143。

【参考答案】

解：设两位数个位上是x，十位上是y。

根据题意得x-y=5，(10y+x)+(10x+y)=143

解得x=9，y=4

答：这个两位数是49。

8.方案问题

在解决实际问题时，需合理安排，从几种方案中，选择最佳方案。方案选择的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。

【典型例题】

已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10t;用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11t。某物流公司现有31t货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆,一次运完，且恰好每辆车都装满货物。根据以上信息，解答下列问题。

(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨。

(2)请你帮该物流公司设计租车方案。

(3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次。出最省钱的租车方案，并求出最少租车费。

【思路点拨】

第(1)问中，两个等量关系均可利用货物的总吨数等于两种车型所运货物吨数之和，每种车型所运货物的吨数等于该种车的数量乘以每辆车装满货物时可运输的货物吨数，列出方程即可。第(2)问中，根据货物的总吨数等于两种车型所运货物吨数之和列出方程，求解即可。第(3)问中，总费用等于A型车的总费用加上B型车的总费用，比较三种方案的费用得出最省钱的租车方案。

【参考答案】

解：(1)设1辆A型车装满货物可运货x吨，1辆B型车装满货物可运货y吨。

根据题意得2x+y=10，x+2y=11

解得x=3，y=4

答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨。

(2)设使用a辆A型车，b辆B型车。

根据题意得3a+4b=31

由于a、b均为正整数

所以a、b的取值可分别为1，7或5，4或9，1

答：该物流公司有三种租车方案。方案一为租用A型车1辆，B型车7辆;方案二为租用A型车5辆，B型车4辆;方案三为租用A型车9辆，B型车1辆。

(3)根据题意得

方案一：100×1+120×7=940

方案二：100×5+120×4=980

方案三：100×9+120×1=1020

答：最省钱的租车方案为租用1辆A型车和7辆B型车，最少租车费为940元。

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