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2024年初中数学:三角形全等的判定+辅助线技巧

2023-08-04 16:20:01佚名

构造辅助线的常用方法

1.关于角平分线的辅助线

当题目的条件中出现角平分线时,要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质:

①角平分线具有对称性;

②角平分线上的点到角两边的距离相等。

关于角平分线常用的辅助线方法:

(1)截取构全等

如下左图所示,OC是∠AOB的角平分线,D为OC上一点,F为OB上一点,若在OA上取一点E,使得OE=OF,并连接DE,则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例:

如上右图所示,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。

提示:

在BC上取一点F使得BF=BA,连结EF。

(2)角分线上点向角两边作垂线构全等

利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

如下左图所示,过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线,垂足为E、F,连接DE、DF。则有:DE=DF,△OED≌△OFD。

例:如上右图所示,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC。求证:∠ADC+∠B=180

(3)作角平分线的垂线构造等腰三角形

如下左图所示,从角的一边OB上的一点E作角平分线OC的垂线EF,使之与角的另一边OA相交,则截得一个等腰三角形(△OEF),垂足为底边上的中点D,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。

如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交,从而得到一个等腰三角形,可总结为:“延分垂,等腰归”。

例:

如上右图所示,已知∠BAD=∠DAC,AB>AC,CD⊥AD于D,H是BC中点。

求证:

DH=(AB-AC)提示:延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证。

(4)作平行线构造等腰三角形

分为以下两种情况:

①如下左图所示,过角平分线OC上的一点E作角的一边OA的平行线DE,从而构造等腰三角形ODE。

②如下右图所示,通过角一边OB上的点D作角平分线OC的平行线DH与另外一边AO的反向延长线相交于点H,从而构造等腰三角形ODH。

2.由线段和差想到的辅助线

遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法:

①截长:

在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;

②补短:

将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。截长补短法作辅助线。

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