点的坐标特征

01

第一象限内的点横坐标为正，纵坐标为正，即(+，+);第二象限内的点横坐标为负，纵坐标Wie正，即(—，+);第三象限内的点横坐标为负，纵坐标为负，即(—，—);第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负，即(+，—)。

例题1：若点A(a+1，b-2)在第二象限，则点B(-a，1-b)在第( )象限。

解：∵点A(a+1，b-2)在第二象限，

∴a+1<0，b-2>0，

解得：a<-1，b>2，

则-a>1，1-b<-1，

故点B(-a，1-b)在第四象限

解此类问题的一般方法是根据点在坐标系的符号特征，建立不等式(组)或方程(组)，把点的问题转化为不等式(组)或方程(组)来解决。

点的平移与对称

02

左右平移，改变的为点的横坐标。点(x，y)向左平移a个单位，得到的点坐标为(x-a，b)，向右平移b个单位，得到的点坐标为(x+b，y)。上下平移，改变的为点的纵坐标。点(x，y)向上平移a个单位，得到的点坐标为(x，y+a)，向下平移b个单位，得到的点坐标为(x，y-b)。

例题2：已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A(-1，2)的对应点为C(3，1)，则点B(-2，-2)的对应点D的坐标为( )

解：由点A(-1，2)的对应点为C(3，1)，知线段AB向右平移4个单位、向下平移1个单位即可得到CD，

∴点B(-2，-2)的对应点D的坐标为(-2+4，-2-1)，即(2，-3)，

关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数;关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数;关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数。

例题3：将三角形三个顶点的横坐标都乘以-1，纵坐标不变，则所得三角形与原三角形的关系是

解：由题意，横坐标互为相反数，纵坐标不变，那么两个图形关于x轴对称。

变式：将三角形三个顶点的横坐标都减2，纵坐标不变，则所得三角形与原三角形的关系是

解：∵将三角形三个顶点的横坐标都减2，纵坐标不变，

∴所得三角形与原三角形的关系是：将原图向左平移两个单位.

在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.(即：横坐标，右移加，左移减;纵坐标，上移加，下移减)

位置的确定

03

由已知条件建立合适的直角坐标系的关键是：(1)要正确确定坐标原点的位置;(2)要准确确定单位长度。

例题4：平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，4)B(2，4)C(3，-1).

(1)试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点;

(2)求△ABC的面积.

(3)若△DEF与△ABC关于x轴对称，写出D、E、F的坐标.

分析：(1)根据三点的坐标，在直角坐标系中分别标出位置即可.(2)以AB为底，则点C到AB的距离即是底边AB的高，结合坐标系可得出高为点C的纵坐标的绝对值加上点B的纵坐标的绝对值，从而根据三角形的面积公式计算即可.(3)关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，从而可得出D、E、F的坐标.

本题考查了坐标与图形性质，轴对称作图，三角形的面积，解答本题的关键是正确的找出三点的位置，另外要掌握关于x轴对称的点的坐标的特点。

规律探究

04

以循环为特征的规律探索型问题，解决此类问题应先观察图形的变化趋势，然后对第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，如果以m次为一个循环，那么第n次的情形与n÷m的余数是相同的，整除时与最后一次情形相同。

例题5：如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(-1，0)运动到点(0，1)，第2次运动到点(1，0)，第3次运动到点(2，-2)，…按这样的运动规律，动点P第2020次运动到点( )

分析：观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2020除以4，然后根据商和余数的情况确定运动后点的坐标即可.

解：∵2020÷4=505，

∴动点P第2020次运动为第505个循环组的第4次运动，横坐标505×4-1=2019，纵坐标为0，

∴点P此时坐标为(2019，0).

平面直角坐标系下的规律探究题，解答时注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的象限符号。

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