一元二次方程的基本内容

现有一个长方形宽为x米，长比宽的2倍少3米，那么当面积为10平方米时宽是多少?

根据长方形的面积公式我们能够得到：(2x-3)·x=10，化简后，2x^2-3x-10=0。在数学中，我们把这类式子叫做“一元二次方程”。

1、方程满足的条件

●(1)等号两边都是整式

●(2)只含有一个未知数

●(3)未知数的最高次数是2的方程

2、方程的形式

一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，

特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。

3、方程的性质

(1)一元二次方程根的判别式：当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式。

当Δ>0 <=> 有两个不等的实根;

当Δ=0 <=> 有两个相等的实根;

当Δ<0 <=> 无实根。

注意：当Δ≥0 <=> 有两个实根，需要根据题目要求，验证这两个实根是否相等。

(2)方程的两根与方程系数的关系：x1+x2= -b/a，x1·x2=c/a，方程两根为x1，x2时，方程为：x2+(x1+x2)X+x1x2=0。

一元二次方程的应用

01

方程解法

一元二次方程的解是以降次为目的，以求解方法为主要手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解。一元二次方程的一般解法有以下几种：

解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外)，但必须熟练掌握。解一元二次方程选择方法的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法。

02

根的判别式

利用一元二次方程根的判别式，确定方程字母系数的值时候，要注意二次项系数不为零这个隐含条件。

主要考察内容：

(1)不解方程，应用根的判别式，判断一元二次方程根的情况

(2)已知方程中根的情况，如何由判别式逆推参数的取值范围

(3)分类讨论：如果方程没有支出二次方程和根的情况，一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程可能是一元一次方程，如果二次项系数不为0，一元二次方程可能有两个相等或不相等的实数根以及无实数根。

(4)一元二次方程根的判别式与整数解的综合

03

实际问题

列一元二次方程解实际应用的步骤：

审：审题目，分清已知量、未知量、等量关系

设：设未知数，有时会用未知数表示相关的量

列：根据题目中的等量关系，列出方程

解：解方程，注意分式方程需要检验，将所求量表示清晰

验：检验方程的解是否满足题目条件，注意要使其实际问题有意义答：写出答案，切忌答非所问

三类常见问题：

1、增长率的等量关系

增长率=(正常量/基础量)*100%

设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b。当m为平均下降量时，n为下降次数，b为下降后的量，则有a(1-m)n=b。

2、利润的等量关系

利润=售价-成本

利润率=(利润/成本)*100%

这类题的难点就在于同学不清楚价格变化和销售量变化之间的关系，不管你运用哪种解题方法，能够清晰解析出题目的各个变量之间的关系，才是重中之重。

3、几何问题等量关系

这类问题主要根据几何图形的性质、特征、定理或公式等来寻找等量关系，常与三角形、四边形、不等式(组)等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧。

一元二次方程是初中数学的重要基础知识，也是考试中的热门考点。

它的解法灵活多样，解题中考虑的因素也较多，要想准确、快速的突破该点，必须对其限定条件考虑周全，多多练习!

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