正数和负数

知识点1 正数和负数的概念

(1) 像3、1.5、1/2、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。

(2)像-3、-1.5、-1/2、-584等在正数前面加“-”(读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。

(3)零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。

注意：

(1)为了强调，正数前面有时也可以加上“+”(读作正)号，例如：3、1.5也可以写作+3、+1.5。

(2)对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“+”号的数是正数，带“-”号的数是负数。

不一定

例如：-a一定是负数吗?答案是。因为字母a可以表示任意的数，若a表示的是正数，则-a是负数;若a表示的是0，则-a仍是0;当a表示负数时，-a就不是负数了(此时-a是正数)。

正数、负数表示

正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢?

正数和负数

我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了。

用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

有理数

知识点1 有理数的有关概念

有理数：整数和分数统称为有理数。

注：(1)有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。

(2)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。

(3)“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。

整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、3、0、-1、-2、-3等等。

分数包括正分数和负分数，例如：1/2、0.6、-1/2、-0.6等等。

知识点2 有理数的分类

(1)按整数、分数的关系分类：

(2)按正数、负数与0的关系分类：

注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数(也叫做自然数)，负整数和0统称为非正整数。

如果用字母表示数，则a>0表明a是正数;a<0表明a是负数;a≥0表明a是非负数;a≤0表明a是非正数。

知识点3 数轴

数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形(如数轴)相结合的思想是学习数学的重要思想。正如华罗庚教授诗云：

数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数缺形时少直觉，形少数是难入微。

数形结合百般好，隔裂分家万事非。

切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!

数与形的第一次联姻——数轴，使数与直线上的点之间建立了对应关系，揭示了数与形的内在联系，并由此成为数形结合的基础。

1.数轴的定义：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

数轴的定义包含三层含义：

(1)数轴是一条直线，可以向两端无限延伸;

原点、正方向、单位长度

(2)数轴有三要素——，三者缺一不可;

(3)原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的(通常取向右为正方向)。

2.数轴的画法：

(1)画一条直线(一般画成水平的直线)。

(2)在直线上选取一点为原点，并用这点表示零(在原点下面标上“0”)。

(3)确定正方向(一般规定向右为正)，用箭头表示出来。

(4)选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……;从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，-3……

注：

(1)原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取;

(2)确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2，4，6，……;从原点向左，依次表示为-2，-4，-6，……;

3.数轴上的点与有理数的关系：

所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。

4.利用数轴比较有理数的大小：

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数。

知识点4 相反数

1.相反数的定义

(1)相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。如，4与-4互为相反数。

(2)相反数的代数定义：只有符号不同的两个数(除了符号不同以外完全相同)，我们说其中一个是另一个的相反数。

2.相反数的性质：

任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。

0是唯一一个相反数等于本身的数。反之，如果a=-a，那么a一定是0.

3.相反数的特征：

若a与b互为相反数，则a+b=0(或a=-b)

若a+b=0(或a=-b)，则a与b互为相反数。

4.求一个数的相反数的方法：(见书)

5.多重符号的化简

(1)在一个数的前面添上一个“+”号，仍然与原数相同，如+5=5，+(-5)=-5。

(2)在一个数的前面添上一个“-”号，就成为原数的相反数。如-(-3)就是-3的相反数，因此，-(-3)=3。

知识点5 绝对值的概念

1.绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作“丨a丨”

2.绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。

知识点6 有理数大小的比较

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

利用数轴，在数轴右边的数永远大于左边的数。

有理数的加减法

有理数的加法

把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。

相加的两个有理数有以下几种情况：

(1)两数都是正数;

(2)两数都是负数;

(3)两数异号，即一个是正数，一个是负数;

(4)一个是正数，一个是0;

(5)一个是负数，一个是0;

(6)两个都是0。

知识点2 有理数加法法则

(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

(3)一个数同0相加，仍得这个数。

知识点3 有理数加法的运算定律

(1)加法交换律：a+b=b+a。

(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

知识点4 有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。

知识点5 有理数的加减混合运算

1.有理数加减法统一成加法的意义

对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。

这样一来，就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。

2.有理数加减混合运算的方法

(1)运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

(2)运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。

有理数的乘除法

知识点1 有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。

知识点2 倒数的概念

乘积是1的两个数互为倒数。

由于a×1/a(a≠0) ，所以当a是不为0的有理数时，a的倒数是1/a。若a、b互为倒数，则ab=1。

知识点3有理数乘法法则的推广

(1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负;当负因数有偶数个时，积为正。

(2)几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。

知识点4 有理数乘法的运算定律

(1)乘法交换律：ab=ba。

(2)乘法结合律：(ab)c=a(bc)。

(3)分配律：a(b+c)=ab+ac。

知识点5 有理数除法法则

(1)除以一个数等于乘以这个数的倒数。即a÷b=a×1/b(b≠0)。

(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

知识点6 有理数的乘除混合运算

除转乘，确定符号。

知识点7 有理数的四则混合运算

先乘除，后加减，如果有括号，就先算括号里面的。同级运算中，要按照从左到右的顺序。

有理数的乘方

知识点1 有理数乘方的意义

知识点2 有理数乘方运算的性质

正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。0的任何次幂都是0。

知识点3 有理数混合运算的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

知识点4 科学计数法

知识点5 研究近似数的意义

在生产实践和实际生活中，不仅存在着大量的准确数，同时也存在着大量的近似数。近似数就是与实际接近的数。

出现近似数的原因有两点：一是有时候不能得到完全准确的数，如太阳的半径大约是696 000千米;二是有时也没有必要弄得完全准确，如买10千克大米，有时可能多一点，有时也可能少一点。

知识点6 有效数字

四舍五入后的近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

方法技巧1：

在只含有乘、除法的算式中，可以由“负”号的个数确定结果的符号。“负”号有奇数个时，结果为负;“负”号有偶数个时，结果为正。

方法技巧2：

分数、小数乘除混合运算，通常把小数化为分数，带分数化为假分数。当把乘除都化成乘积的形式时，应先确定积和符号。含有多重括号，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外到内。在进行混合运算时，要注意两点：一是运算顺序，二是运算符号。

方法技巧3：

灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括号改变运算顺序常可达到简化运算的效果。凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。

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