行程问题

(一)知识点

1.行程问题中的三个基本量及其关系：

路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间

2.行程问题基本类型

(1)相遇问题：快行距+慢行距=原距

(2)追及问题：快行距-慢行距=原距

(3)航行问题：顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度

逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系

(二)例题解析

● 1.从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为_____ 。

【解】

等量关系 步行时间-乘公交车的时间=3.6小时

列出方程是：X/8-X/40=3.6

● 2.某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟;若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟;求从家里到学校的路程有多少千米?

【解】

等量关系

(1)速度15千米行的总路程=速度9千米行的总路程

(2)速度15千米行的时间+15分钟=速度9千米行的时间-15分钟

提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。

方法一：设预定时间为x小/时，则列出方程是：

15(x-0.25)=9(x+0.25)

方法二：设从家里到学校有x千米，则列出方程是：

X/15+15/60=X/9-15/60

●3.一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米?

【解】

提醒：将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。

等量关系：快车行的路程+慢车行的路程=两列火车的车长之和

设客车的速度为3X米/秒，货车的速度为2X米/秒，

则 16×3X+16×2X=200+280

●4.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。

(1)行人的速度为每秒多少米?

(2)这列火车的车长是多少米?

【解】

提醒：将火车车尾视为一个快者，则此题为以车长为提前量的追击问题。

等量关系：

① 两种情形下火车的速度相等

② 两种情形下火车的车长相等

在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。

(1)行人的速度是：3.6km/时=3600米÷3600秒=1米/秒

骑自行车的人的速度是：10.8km/时=10800米÷3600秒=3米/秒

(2)方法一：设火车的速度是X米/秒，则 26×(X-3)=22×(X-1) 解得X=4

方法二：设火车的车长是x米，则(X+22×1)/22=(X+26×3)/26

●5.一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车速度是60千米/时，步行的速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。出发地到目的地的距离是60千米。

步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇(汽车掉头的时间忽略不计)

【解】

提醒：此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈，即步行者行的总路程+汽车行的总路程=60×2

设步行者在出发后经过X小时与回头接他们的汽车相遇，

则 5X+60(X-1)=60×2

●6.某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因事将原计划的时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离。

【解】

方法一：设由A地到B地规定的时间是 x 小时，则

12x=15×(X-20/60-4/60)

X=2

12X=12×2=24(千米)

方法二：设由A、B两地的距离是 x 千米，则(设路程，列时间等式)

X/12-X/15=20/60+4/60

X=24

答：A、B两地的距离是24千米。

温馨提醒：当速度已知，设时间，列路程等式;设路程，列时间等式是我们的解题策略。

●7.一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度?火车的长度是多少?若不能，请说明理由。

【解】

只要将车尾看作一个行人去分析即可，前者为此人通过300米的隧道再加上一个车长，后者仅为此人通过一个车长。

此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。

方法一：设这列火车的长度是x米，根据题意，得

(300+X)/20=X/10

x=300

答：这列火车长300米。

方法二：设这列火车的速度是x米/秒，

根据题意，得

20x-300=10x x=30 10x=300

答：这列火车长300米。

●8.甲、乙两地相距x千米，一列火车原来从甲地到乙地要用15小时，开通高速铁路后，车速平均每小时比原来加快了60千米，因此从甲地到乙地只需要10小时即可到达，列方程得________ 。

【解】

X/10-X/15=60

●9.两列火车分别行驶在平行的轨道上，其中快车车长为100米，慢车车长150米，已知当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口所用的时间为5秒。

(1)两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少?

(2)如果两车同向而行，慢车速度为8米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒?

【解】

① 快车驶过慢车某个窗口时：研究的是慢车窗口的人和快车车尾的人的相遇问题，此时行驶的路程和为快车车长!

② 慢车驶过快车某个窗口时：研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的相遇问题，此时行驶的路程和为慢车车长!

③ 快车从后面追赶慢车时：研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的追击问题，此时行驶的路程和为两车车长之和!

(1)两车的速度之和=100÷5=20(米/秒)

慢车经过快车某一窗口所用的时间=150÷20=7.5(秒)

(2)设至少是x秒，(快车车速为20-8)

则 (20-8)X-8X=100+150

X=62.5

答：至少62.5秒快车从后面追赶上并全部超过慢车。

●10.甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。求两人的速度。

【解】

设乙的速度是X千米/时，则

3X+3 (2X+2)=25.5×2

∴ X=5

2X+2=12

答：甲、乙的速度分别是12千米/时、5千米/时。

●11.一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离。

【解】

设船在静水中的速度是X千米/时，则

3×(X-3)=2×(X+3)

解得x=15 2×(X+3)=2×(15+3) =36(千米)

答：两码头之间的距离是36千米。

●12.小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6小时，求该河的水流速度。

【解】

设水流速度为x千米/时，

则9(10-X)=6(10+X)

解得X=2

答：水流速度为2千米/时

●13.某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。

【解】

设A与B的距离是X千米，(请你按下面的分类画出示意图，来理解所列方程)

① 当C在A、B之间时，X/(7.5+2.5)+40/(7.5-2.5)=20

解得x=120

② 当C在BA的延长线上时，

X/(7.5+2.5)+(X+X-40)/(7.5-2.5)=20

解得x=56

答：A与B的距离是120千米或56千米。

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