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2023年初中数学:判定一个四边形是特殊四边形的步骤

2023-03-16 17:41:22佚名

判定一个四边形是特殊四边形的步骤:

常见考法

(1)利用菱形、矩形、正方形的性质进行边、角以及面积等计算;

(2)灵活运用判定定理证明一个四边形(或平行四边形)是菱形、矩形、正方形;

(3)一些折叠问题;

(4)矩形与直角三角形和等腰三角形有着密切联系、正方形与等腰直角三角形也有着密切联系。所以,以此为背景可以设置许多考题。

误区提醒

(1)平行四边形的所有性质矩形、菱形、正方形都具有,但矩形、菱形、正方形具有的性质平行四边形不一定具有,这点易出现混淆;

(2)矩形、菱形具有的性质正方形都具有,而正方形具有的性质,矩形不一定具有,菱形也不一定具有,这点也易出现混淆;

(3)不能正确的理解和运用判定定理进行证明,(如在证明菱形时,把四条边相等的四边形是菱形误解成两组邻边相等的四边形是菱形);(3)再利用对角线长度求菱形的面积时,忘记乘;(3)判定一个四边形是特殊的平行四边形的条件不充分。

【典型例题】(2010天门、潜江、仙桃)正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.

(1)当点P与点O重合时(如图①),猜测AP与EF的数量及位置关系,并证明你的结论;

(2)当点P在线段DB上(不与点D、O、B重合)时(如图②),探究(1)中的结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请说明理由;

(3)当点P在DB的长延长线上时,请将图③补充完整,并判断(1)中的结论是否成立?若成立,直接写出结论;若不成立,请写出相应的结论.

【解析】(1)AP=EF,AP⊥EF,理由如下:

连接AC,则AC必过点O,延长FO交AB于M;

∵OF⊥CD,OE⊥BC,且四边形ABCD是正方形,

∴四边形OECF是正方形,

∴OM=OF=OE=AM,

∵∠MAO=∠OFE=45°,∠AMO=∠EOF=90°,

∴△AMO≌△FOE,

∴AO=EF,且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°,即OC⊥EF,

故AP=EF,且AP⊥EF.

(2)题(1)的结论仍然成立,理由如下:

延长AP交BC于N,延长FP交AB于M;

∵PM⊥AB,PE⊥BC,∠MBE=90°,且∠MBP=∠EBP=45°,

∴四边形MBEP是正方形,

∴MP=PE,∠AMP=∠FPE=90°;

又∵AB-BM=AM,BC-BE=EC=PF,且AB=BC,BM=BE,

∴AM=PF,

∴△AMP≌△FPE,

∴AP=EF,∠APM=∠FPN=∠PEF

∵∠PEF+∠PFE=90°,∠FPN=∠PEF,

∴∠FPN+∠PFE=90°,即AP⊥EF,

故AP=EF,且AP⊥EF.

(3)题(1)(2)的结论仍然成立;

如右图,延长AB交PF于H,证法与(2)完全相同

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