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2023年初中数学一次函数中等腰三角形存在性问题

2023-02-03 20:09:17佚名

两圆一线

一线,指的是线段的中垂线;

两圆,指的是以线段长度为半径,线段端点为圆心而产生的两个圆。

首先,我们来解决第一个问题,等腰三角形的生成问题。

在平面内有一线段AB,点C为平面内任意一点,若△ABC为等腰三角形,则这样的点C有几个?点C的轨迹又是什么?根据等腰三角形的性质,线段AB有可能为底边,也有可能为腰,故有两种基本情况。:线段AB为底边,则有AC=BC,即点C到线段AB两端点的距离相等,故点C在线段AB的中垂线上,此时点C有无数个,点C的轨迹为直线(不取与AB相交的点),如下图:

情况(2)

:线段AB为腰,则有:①AB=AC,即点C到点A的距离等于点B到点A的距离,则点C在以点A为圆心,AB长为半径的圆上,此时点C有无数个,点C的轨迹为圆(不取点B和与A、B共线点),如下图:②AB=BC,即点C到点B的距离等于点A到点B的距离,则点C在以点B为圆心,AB长为半径的圆上,此时点C有无数个,点C的轨迹为圆(不取点A和与A、B共线的点),如下图:

请记住这两圆一线:

综上所述,这样的点C有无数个,点C的轨迹为两个圆和一条直线,为了方便记忆,我们简称“两圆一线”,这是等腰三角形存在性处理的基本定性策略。

- 嘉成老师解析 -

同学们~碰到一次函数跟几何结合的题目,等腰三角形的存在性问题时,要想到两圆一线的方法;每一个点都有可能是定点,所有分3种情况进行讨论,其中一种是找垂直平分线,另外两种是以给定的一个点为圆心,线段长度为半径,垂直平分线/圆与所给线段的交点,即为所求。

其次,我们来解决第二个问题,等腰三角形的边长问题。

求等腰三角形的边长,我们通常将其转化为两点间的距离问题,所以,我们来推导一下平面内两点间的距离公式。已知平面内两点A(1,2)、B(6,4),求线段AB的长度。连接AB,以AB为斜边,构造直角边与坐标轴平行的直角三角形,利用勾股定理解题,如下图:

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