典型例题7：难度★★★

应用整式知识解答下列问题:

(1)任意写出一个三位数,然后把这个三位数的百位数字和个位数字交换位置,得到另一个三位数,求证:这两个三位数的差总能被99整除;

(2)一个三位数,将它的各位数字分别按从大到小和从小到大的顺序重新排列,把所得到的两个三位数相减,若差等于原来的三位数,则称这个三位数为克隆数.求出所有的三位克隆数.

【答案解析】

【解题思路】

(1)设这个三位数的百位、十位、个位数字分别为a、b、c，然后根据题意列式求解.

(2)复杂题目中可采用列举逐一排除的“笨”方法.

【答案解析】

(1)设这个三位数的百位、十位、个位数字分别为a、b、c,则这个三位可以表示为100a+10b+c,交换a、c位置后的新三位数可以表示为100c+10b+a,这两数之差为:(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a—99c=99(a-c),所以这两个三位数的差总能被99整除.

(2)由(1)可知克隆数必是99的倍数,三位数中,99的倍数共有9个: 198、297、396、495、594、693、792、891、990.经逐—检验,符合题意的三位克隆数只有495.

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