不等式的整数解问题

例

已知不等式 3x-a<5(x+2) 的负整数解有且只有4个，则a的取值范围是______

分析

本题与第八讲的例题类似，其实只是多了一步先用a的代数式来表示x的解集，再根据负整数解的个数，初步确定用含参数a表示的代数式的范围是哪两个相邻整数，并最终确定哪边取等号.

例

分析

本题是不等式组的整数解问题，而且并没有告诉我们是那些整数，甚至连是几个整数都没有提，是不是没法做了呢，考虑到第二个不等式可解，其实就能依据它来决定是哪几个.

解答

由①得，x

由②得，x≥1

∴不等式组解集为1≤x

根据整数解和为10，

则应为1，2，3，4

则4

附：本章经典难题2例

分析

本题与第十讲例3对于x>1的一切有理数，不等式x-a>2a都成立，则a______.类似，表面看上去是不等式问题，实际则考察不等式组，我们要厘清题意，什么叫某个不等式的所有解都是另一个不等式的解，这其实就是不等式组口诀中的“同大取大”，或者“同小取小”.另外.需要注意的是，这里所说的a为何值，到底是不是一个值呢?还是求范围?这需要我们再次判断.

借助数轴动态图分析，我们发现，这里要用口诀“同大取大”，则a确定是一个范围，但到底临界点哪个更大?

反思：

通过这道题，你应该感受到数学题中，理解题意的重要性，在考虑不等式组同大取大，同小取小时，一定还要看看临界点能否取等号?现在，你能否根据这道题，不去回看之前的解答，再来重新做一遍呢?

分析

这道题是将方程组，与不等式组综合的题目，首先，又是三未知数，两方程问题，则必然要用含某个未知数的代数式表示另两个未知数.根据三个未知数均为非负数，确定x的范围，最后的W的最值问题，又与方案优选问题类似，本题的解答思路分析，具体可以回看《第11讲》和《第6讲》.

解答

①+②×2得，5x-5y=5，y=x-1

①×3+②得，5x+5z=10，z=-x+2

根据x，y，z为非负数，

∴x≥0，x-1≥0，-x+2≥0，

∴1≤x≤2

W=3x+y+z=3x+1

∵3>0，

∴W随x增大而增大

∴当x=2时，

Wmax=7

附：练习及答案

解答：

1.由①得，x>3，由②得，x>m，

解集为x>3，同大取大，m≤3，

2.由①得，x≥-a，由②得，x<1

则-a<1，a>-1

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