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三角形的三边关系

三角形三边的关系，是在学生初步了解了三角形的定义的基础上，进一步研究三角形的特征，从中我们不仅能够了解三角形三边之间的大小关系，也提供了判断三条线段能否组成三角形的标准。

三角形的三边关系：

三角形任意两边的和大于第三边，两边之差小于第三边。

常见应用类型

类型一：判断三条线段能否组成三角形

根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析。判断能否组成三角形的简便方法是：看较小的两个数的和是否大于第三个数。

下列长度的三条线段能组成三角形的是( )

A.1，2，3 B.5，4，2 C.2，2，4 D.4，6，11

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析.

【解答】解：根据三角形的三边关系，知

A、1+2=3，不能组成三角形，故A错误;

B、2+4>5，能够组成三角形;故B正确;

C、2+2=4，不能组成三角形;故C错误;

D、6+4<11，不能组成三角形，故D错误.

故选：B。

类型二：求三角形第三边的长或取值范围

根据三边关系确定某一边的取值范围，一般题目中会给出其他两边的大小，需要注意的是结合实际问题的运用，比如：人数组成三角形中的隐含条件，数字必须是正整数。

一个三角形的两边长分别为5cm和3cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是( )

A.2cm或4cm B.4cm或6cm

C.4cm D.2cm或6cm

【分析】可先求出第三边的取值范围.再根据5+3为偶数，周长也为偶数，可知第三边为偶数(偶数+偶数=偶数)，从而找出取值范围中的偶数，即为第三边的长.

【解答】解：设第三边长为x，

则5﹣3

又x为偶数，

因此x=4或6，

故选：B。

类型三：解答等腰三角形相关问题

考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，一般没有明确腰和底边的题目，一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键。

已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为( )

A.11 B.16 C.17 D.16或17

【分析】分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解.

【解答】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，能组成三角形，周长=6+6+5=17;

②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，能组成三角形，周长=6+5+5=16，

综上所述，三角形的周长为16或17，

故选：D。

类型四：三角形的三边关系在代数中的应用

三角形的三边关系在代数中的应用主要考察化简求值、绝对值的性质、整式的加减的综合应用。去绝对值时，主要判断三边的运算和“0”的关系，从而达到化简的目的。

已知a，b，c是一个三角形的三条边长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a+b|.

【分析】根据三角形三边关系得到a﹣b﹣c<0，b﹣a﹣c<0，c﹣a+b>0，再去绝对值，合并同类项即可求解.

【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，

∴﹣b﹣c<0，b﹣a﹣c<0，c﹣a+b>0，

∴|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a+b|

=﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a﹣b

=a﹣b+c.

故答案为：a﹣b+c.

类型五：利用三角形的三边关系说明边的不等关系

考查三角形边的不等关系时，主要考察题型为证明题和填空题，主要是通过三边关系确定结论的正确性，需要注意的是等式的变形中正负性。

如图，已知D、E是△ABC内的两点，问AB+AC>BD+DE+EC成立吗?请说明理由.

【分析】结合图形，反复运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”进行证明。

【解答】答：成立;

证明：延长DE交AB于点F、延长DE交AC于G，

在△AFG中：AF+AG>FG①，

在△BFD中：FB+FD>BD②，

在△EGC中：EG+GC>EC③，

∵FD+ED+EG=FG，

∴①+②+③得：

AF+FB+FD+EG+GC+AG>FG+BD+EC，

即：AB+FD+EG+AC>FG+BD+EC，

AB+AC>FG﹣FD﹣EG+BD+EC，

∴AB+AC>BD+ED+EC。

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