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一、添项后直接利用题目条件中给予的公式

例1、阅读下文，寻找规律：

已知x≠1时，(1﹣x)(1+x)=1﹣x2，(1﹣x)(1+x+x2)=1﹣x3，

(1﹣x)(1+x+x2+x3)=1﹣x4 ……

(1)(1﹣x)( )=1﹣x8

(2)观察上式，并猜想：①(1﹣x)(1+x+x2+……+xn)= .

②(x﹣1)(x10+x9+…+x+1)= .

(3)根据你的猜想，计算：

①(1﹣2)(1+2+22+23+24+25)= .

② 1+2+22+23+24+…+22007= .

解：(1)1+x+x2...+x7

(2)①1-xn+1 ②x11-1

(3)①1-26=-63 ②22008-1

对于第(3)题第②问

我们解题时先观察，它与一般规律(1﹣x)(1+x+x2+……+xn)=1-xn+1的区别与联系，

可以发现：在1+2+22+23+24+…+22007中，x=2，n=2007，但是缺少“1-x” 这一项，对于本小题，也就是缺少“1-2”这个项，那我们就把该项添上，而1-2=-1，原式多乘了个-1，为了保持原式不变，自然还要再乘以-1，才能保持不变，所以我们可以这样解：

1+2+22+23+24+…+22007 = (-1)×(1-2)×(1+2+22+23+24+…+22007 )

=-1×(1-22008)

=22008-1

二、改变一项乘积的形式，然后利用平方差公式

例2、3(22+1)(24+1)…(232+1)+1计算结果的个位数字是(　　)

A.4 B.6 C.2 D.8

解：原式=(22﹣1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1

=(24﹣1)(24+1)(28+1)…(232+1)+1

=264﹣1+1

=264;

∵21=2，22=4，23=8，24=16，个位数按照2，4，8，6依次循环，

而64=16×4，

∴原式的个位数为6.

故选：B.

本题中将3改成22﹣1，使之与后项构成平方差的形式。

三、添加一项后构成平方差公式，再乘以所添加项的倒数

说明：再乘以所添加项的倒数的目的是为了与原式相等

例3、请计算(22+1)(24+1)…(232+1)

四、利用平方差公式分解因式后，写成分数连乘的形式，分子分母邻位相消