在准备讲课训练的时候提出了这个疑问，高中的知识中，例如两点间距离完全可以用勾股定理求解，并且从学生的角度来说，把勾股定理套进直角坐标系，虽然过程不难但是感觉有点多此一举，且除了解题外没有现实意义。

目前我的理解是，勾股定理本质上是两条线与第三条线的关系，也就是线线关系，两点间距离公式的本质是两点间的关系，也就是说如果从点和线的角度看，两者讨论的问题并不一样，而如果要讨论两点距离，不用尺子测量的话，就不能不使用直角坐标系，再把勾股定理套进直角坐标系。

我觉得最难向学生解释的就是为什么一定要套进直角坐标系，实际上当同学们看到一个点的时候，无论是在课本还是在试卷上，这个点就有了一个坐标，所以在很多同学的潜意识里，这个点已经自带了直角坐标系，但是他们忘记了当点独立存在于平面或空间的时候是不存在大小体积和长度的，更不用说用坐标来描述，也就是说这个点如果不是在某条线(面)上，这个点是不存在也无法描述的，这里指的是不能从数学角度向高中生描述。

所以直角坐标系和数轴最大的意义在高中我觉得就是解释了点的意义，描述了点这个问题，使得老师可以通过坐标描述一个点，学生可以通过坐标在平面上直观地表现这个点。从数形结合的角度来说，也量化了一条直线，否则直线之间也没有了区别，通过直角坐标系斜率等等，约束了不同的直线，从而把他们用同一个标准统一描述出来。

当点和直线存在于同一个体系里，可以用数字去量化，就具备了计算的意义，而不是用尺子量，于是出现了各种方程和公式。

回到两点间距离公式这个问题，如果随便给出两个点，我只用尺子测量距离，这个距离当然准确，但是如果又给出了一条直线，点到直线的距离用尺子不好测量，但是我们赋予一个直角坐标系，把距离这条线的长度变成了一个可计算的数字，此时使用准备好的公式去计算，这个长度就是准确的，没有测量误差的，从我感觉到的数学来说，这样才符合数学的精准。

同时也可以看到直角坐标系是没有单位的，也就是说它是一个统一标准的工具，那么不论你的单位是什么，只要可以写成方程，可以写成坐标，就可以放进直角坐标系里讨论一些相关的联系，这也使方程具备了几何意义，可以通过画图来观察。