2023年中考数学复习:辅助线(2)
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对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明。
在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明。
例1:已知如图1-1:D、E为△ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE.
(法1)证明:将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N,在△AMN中,AM+AN > MD+DE+NE;(1)
在△BDM中,MB+MD>BD; (2)
在△CEN中,CN+NE>CE; (3)
由(1)+(2)+(3)得:
AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE
∴AB+AC>BD+DE+EC
(法2)如图1-2, 延长BD交 AC于F,延长CE交BF于G,在△ABF和△GFC和△GDE中有:
AB+AF> BD+DG+GF (三角形两边之和大于第三边) (1)
GF+FC>GE+CE(同上) (2)
DG+GE>DE(同上) (3)
由(1)+(2)+(3)得:
AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE
∴AB+AC>BD+DE+EC。
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