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构造一元二次方程解题是一种重要的数学方法，其应用非常广泛，用法非常灵活。这里举例说明如何用这一方法解决有关问题。

一、巧求代数式的值

例1. 已知实数m、n满足 求 的值。

分析：注意到两个等式的系数特点，可以先化为对应相等的形式，再构造恰当的一元二次方程。

解：显然 ，因此 可化为

由 知 ，又因为 ，所以 、 是关于x的方程 的两个不等式实数根。根据根与系数的关系，得

例2. 已知实数a、b满足 ， ，求 的值。

分析：注意本题的条件可以提炼出两个数的和与积的形式，逆用根与系数的关系构造一元二次方程。

解：由 得 ；

由 得

于是 、 是关于x的方程 的两个根。

解得

当 时，

；

当 时，#p#分页标题#e#

。

注：上述两例给出了两种构造一元二次方程的常用方法与思路。一种是应用方程根的意义，一种是逆用根与系数的关系。

二、巧求代数式的取值范围

例3. 已知实数a、b、c满足 ， ，求c的范围。

分析：注意到条件中出现了 、ab的形式，可以构造出符合条件的一元二次方程，然后应用判别式求解。

解：由条件可知 （显然 ），于是a、b是关于x的方程 的两个实数根。

因此判别式

（1）如果 ，则（*）式总成立；

（2）如果 ，则（*）式可化为 。

由（1）、（2）可知c的取值范围是 或 。

注：构造出符合题意的二次方程后，经常要综合考虑应用判别式求解问题。

三、巧证明等式问题

例4. 已知 ，求证 。

分析：注意到条件的形式，联想到 ，据此可以构造出符合条件的一元二次方程进行求解。

证明：（1）若 ，则由条件容易得 ，因此 成立。

（2）若 ，则关于x的方程 （*）的判别式为 ，因此方程（*）有两个相等实数根。又因为方程（*）的系数符合#p#分页标题#e# ，因此方程（*）的解是 。于是根据根与系数的关系有 ，即 。

由（1）（2）可知 成立。

注：本题分两种情况讨论是很有必要的。应用一元二次方程 的判别式解题时，一定要确保二次项系数 。

四、巧证明不等式问题

例5. 已知正数 满足条件 。求证： 。

分析：注意到 ，可以构造一根为1的二次方程解决本题。

证明：由 得 ，可知关于t的一元二次方程 一定有一个实数根为1。

于是 。

同理可证明 。

由 为正数知 ，

所以 。

注：应用构造一元二次方程法证明不等式时，多是结合根的判别式论证。

五、巧判断三角形形状

例6. 已知 的三边a,b,c满足 ，试判断 是什么三角形（按边分类），并证明你的结论。

分析：条件中出现了b，c的和与积，据此可构造出符合题意的方程。

解：由条件 可知，b、c是关于x的一元二次方程 的两个实数根。#p#分页标题#e#

则 ，

即 ，事实上 ，于是只有 。此时方程的两实数根相等，即 。

由 知 ，所以 是等腰三角形。

注：判断三角形形状是 、竞赛中常见题型，要多加注意。

六、巧证明几何问题

例7. 如图1，过正方形ABCD的顶点C作任意一条直线与AB、AD的延长线分别交于点E、F。求证： 。

分析：注意到要证明的不等式的形式，可联想到一元二次方程的判别式。

证明：设正方形的边长为a，连AC。

因为 ，所以有

。

即 。

从而AE、AF可视为关于x的一元二次方程 的两个实数根。所以该方程的判别式

得 ，即 。

例8. 如图2，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若 。求证： 。

分析：若设 ，问题转化为求 的最小值问题。设 ，再求出 的值即可构造出符合条件的方程。#p#分页标题#e#

证明：设 。

因为 ，所以 ，即 。

于是m，n是关于x的一元二次方程 的两个实数根。则

，

注意k为正数，得 ，

于是 。

因此 。

注：应用构造一元二次方程的方法解决一些几何中的不等式问题，的确让我们有耳目一新的感觉，有益于训练大家思维的发散性、创新性。