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圆与圆位置关系是初中几何的一个重要内容，也是学习中的难点，本文介绍圆与圆的位置关系中常见的五种辅助线的作法。

1. 作相交两圆的公共弦

利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。

例1. 如图1，⊙O ₁
和⊙O ₂
相交于A、B两点，过A、B分别作直线CD、EF，且CD//EF，与两圆相交于C、D、E、F。求证：CE＝DF。

图1

分析：CE和DF分别是⊙O ₁
和⊙O ₂
的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆内接四边形ABEC和ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明。

证明：连结AB

因为

又

所以

即CE//DF

又CD//EF

所以四边形CEFD为平行四边形

即CE＝DF

2. 作两相交圆的连心线

利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。

例2. ⊙O ₁
和⊙O ₂
相交于A、B两点，两圆的半径分别为 和 ，公共弦长为12。求 的度数。

图2

分析：公共弦AB可位于圆心O ₁
、O ₂
同侧或异侧，要求 的度数，可利用角的和或差来求解。

解：当AB位于O ₁
、O ₂
异侧时，如图2。

连结O ₁
、O ₂
，交AB于C，则 。分别在 和#p#分页标题#e# 中，利用锐角三角函数可求得

故

当AB位于O ₁
、O ₂
同侧时，如图3

图3

则

综上可知 或

3. 两圆相切，作过切点的公切线

利用弦切角定理沟通两圆中角的关系

例3. 如图4，⊙O ₁
和⊙O ₂
外切于点P，A是⊙O ₁
上的一点，直线AC切⊙O ₂
于C，交⊙O ₁
于B，直线AP交⊙O ₂
于D。求证PC平分 。

图4

分析：要证PC平分 ，即证

而 的边分布在两个圆中，难以直接证明。

若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T

易知

由弦切角定理，得

又 是 的一个外角

所以

又 #p#分页标题#e#

从而有

即PC平分

4. 两圆相切，作连心线

利用连心线经过切点的性质，解决有关计算问题。

例4. 如图5，⊙O ₁
与半径为4的⊙O ₂
内切于点A，⊙O ₁
经过圆心O ₂
，作⊙O ₂
的直径BC，交⊙O ₁
于点D，EF为过点A的公切线，若 ，求 的度数。

图5

分析： 是弦切角，要求其度数，需将其转化为圆周角或圆心角，因此连结O ₁
O ₂
、O ₁
A，则O ₁
O ₂
必过点A，且O ₂
A为⊙O ₁
的直径，易知 。

连结DA，则

于是

又 为锐角

所以

从而有

5. 过小圆圆心作大圆半径的垂线

有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。

例5. 如图6，⊙O ₁
与⊙O ₂
外切于点O，两外公切线PCD和PBA切⊙O ₁
、⊙O ₂
于点C、D、B、A，且其夹角为 ， ，求两圆的半径。#p#分页标题#e#

图6

分析：如图6，连结O ₁
O ₂
、O ₁
A、O ₂
B，过点O ₂
作 ，构造 ，下面很容易求出结果。

请同学们自己给出解答。

答案：两圆的半径分别为3和1）