难度：★★★  考点：直角三角形斜边上的中线

　　已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

   

　　（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是（），QE与QF的数量关系式（）；

　　（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

　　（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

　　考点：全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．

　　分析：（1）证△BFQ≌△AEQ即可；

　　（2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；

　　（3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．

　　解答：解：（1）AE∥BF，QE=QF，

　　理由是：如图1，∵Q为AB中点，

　　∴AQ=BQ，

　　∵BF⊥CP，AE⊥CP，

　　∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，

　　在△BFQ和△AEQ中

　　∠BFQ＝∠AEQ

　　∠BQF＝∠AQE

　　BQ＝AQ

　　∴△BFQ≌△AEQ（AAS），

　　∴QE=QF，

　　故答案为：AE∥BF，QE=QF．

　　（2）QE=QF，

　　证明：如图2，延长FQ交AE于D，

　　∵AE∥BF，

　　∴∠QAD=∠FBQ，

　　在△FBQ和△DAQ中

　　∠FBQ＝∠DAQ

　　AQ＝BQ

　　∠BQF＝∠AQD

　　∴△FBQ≌△DAQ（ASA），

　　∴QF=QD，

　　∵AE⊥CP，

　　∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，

　　∴QE=QF=QD，

　　即QE=QF．

   

　　（3）（2）中的结论仍然成立，

　　证明：如图3，

　　延长EQ、FB交于D，

　　∵AE∥BF，

　　∴∠1=∠D，

　　在△AQE和△BQD中

　　∠1＝∠D

　　∠2＝∠3

　　AQ＝BQ

　　∴△AQE≌△BQD（AAS），

　　∴QE=QD，

　　∵BF⊥CP，

　　∴FQ是斜边DE上的中线，

　　∴QE=QF．

　　点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等．