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　　考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

　　分析：（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△AQP∽△ABC；

　　（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．

　　（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；

　　（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．

　　解答：（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，

　　∴∠APQ=∠C．

　　在△APQ与△ABC中，

　　∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，

　　∴△AQP∽△ABC．

　　（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．

　　∵∠BPQ为钝角，

　　∴当△PQB为等腰三角形时，

　　（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．

　　∵∠QPB为钝角，

　　∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ，

　 
　　（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．

　　∵∠QBP为钝角，

　　∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ．

　　∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，

　　∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，

　　∴∠AQB=∠A，

　　∴BQ=AB，

　　∴AB=BP，点B为线段AP中点，

　　∴AP=2AB=2×3=6．

　　综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为5/3或6．

　　点评：本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大．第（2）问中，当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．