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　　难度：★★★★

　　如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．

　　（1）求线段AD的长；

　　（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，

　　①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；

　　②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．

　　（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

　　试题详细答案

　　思路点拨

　　1．第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点．

　　2．第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论．