平面直角坐标系难点

平面直角坐标系考察主要内容：

①考察平面直角坐标系内点的坐标特征

②函数自变量的取值范围和球函数的值

③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。

一、坐标

1、数轴

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。

数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫这个点在数轴上的坐标。

数轴上的点与实数(包括有理数与无理数)一一对应，数轴上的每一个点都有唯一的一个数与之对应。

2、平面直角坐标系

由互相垂直、且原点重合的两条数轴组成。

横向(水平)方向的为横轴(x轴)，纵向(竖直)方向的为纵轴(y轴)，平面直角坐标系上的任一点，都可用一对有序实数对来表示位置，这对有序实数对就叫这点的坐标。

(即是用有顺序的两个数来表示，注：x在前，y在后，不能随意更改)

坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，每一个点，都有唯一的一对有序实数对与之对应。

二、象限及坐标平面内点的特点

1、四个象限

平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限(或第Ⅰ象限)、第二象限(或第Ⅱ象限)、第三象限(第Ⅲ象限)和第四象限(或第Ⅳ象限)。

注：ⅰ、坐标轴(x轴、y轴)上的点不属于任何一个象限。例 点A(3，0)和点B(0，-5)

ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变;坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标也相应发生改变。

2、坐标平面内点的位置特点

①、坐标原点的坐标为(0，0);

②、第一象限内的点，x、y同号，均为正;

③、第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正;

④、第三象限内的点，x、y同号，均为负;

⑤、第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负;

⑥、横轴(x轴)上的点，纵坐标为0，即(x，0)，所以，横轴也可写作：y=0 (表示一条直线)

⑦、纵轴(y轴)上的点，横坐标为0，即(0，y),所以，纵横也可写作：x=0 (表示一条直线)

3、点到坐标轴的距离

坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴(y轴)的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴(x轴)的距离。

注: ①、已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，可能有多个解的情况，应注意不要丢解。

②、坐标平面内任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)之间的距离公式为：d = 根号下[(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2]

4、坐标平面内对称点坐标的特点

①、一个点A(a,b)关于x轴对称的点的坐标为A'(a,-b),特点为：x不变，y相反;

②、一个点A(a,b)关于y轴对称的点的坐标为A'(-a,b),特点为：y不变，x相反;

③、一个点A(a,b)关于原点对称的点的坐标为A'(-a,-b)，特点为：x、y均相反。

5、平行于坐标轴的直线的表示

①、平行于横轴(x轴)的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a(a为纵坐标)的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值;

②、平行于纵轴(y轴)的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b(b为横坐标)的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值。

6、象限角平分线的特点

①、第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等(同号);

②、第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)。

三、坐标方法的简单应用

1、求面积

①、已知三角形的顶点坐标求三角形的面积

将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合(相加)或分解(相减)，即将要求的三角形面积转化为大的多边形(如矩形、梯形)与一个或几个较小的三角形面积之差;

②、已知多边形各顶点坐标求多边形的面积

将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形(例如矩形或梯形)与一个或几个较小的三角形面积之差。

2、平移

①、点的平移

一个点左、右(水平)平移，横坐标改变，纵坐标不变。具体为：向左平移几个单位，则横坐标减少几个单位;向右平移几个单位，则横坐标增加几个单位。“左减右加”

一个点上、下(竖直)平移，纵坐标改变，横坐标不变。具体为：向下平移几个单位，则纵坐标减少几个单位;向上平移几个单位，则纵坐标增加几个单位。“下减上加”

②、图形的平移

图形是由无数个点组成的，所以，图形的平移实质上就是点的平移。关键是把图形的各个顶点按要求横向或纵向平移，描出平移后的对应顶点，再连接全部对应顶点即可。

注：图形平移后的新图形与原图形在形状、大小方面是完全相同的，唯一改变的是原图形的位置。

3、中点坐标公式

平面直角坐标系内任意两点M(a1,b1)、N(a2,b2)。

它们的中点的坐标为：((a1+a2)/2 ,(b1+b2)/2 )

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